Неопределенность вида бесконечность на бесконечность
Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:
В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $frac<0><0>$.
Раскрытие неопределенности $frac<0><0>$.
Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:
- Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое сопряжённое» выражение;
- При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
- Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.
Термин «сопряжённое выражение», использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).
Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:
Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:
begin
Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.
Так как $lim_
Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt<7-x>$, $b=2$:
Как видите, если умножить числитель на $sqrt<7-x>+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $sqrt<7-x>+2$ и будет сопряжённым к выражению $sqrt<7-x>-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $sqrt<7-x>+2$, ибо это изменит дробь $frac
Теперь вспомним, что $(sqrt<7-x>-2)(sqrt<7-x>+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:
Неопределенность $frac<0><0>$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:
Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру – в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.
Так как $lim_
Вновь, как и в примере №1, нужно использовать формулу №1 для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt
Вернёмся к нашему пределу:
В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать формулу №5. Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:
Подставляя $x_1=-frac<1><3>$, $x_2=2$ в формулу №5, будем иметь:
$$ 3x^2-5x-2=3cdotleft(x-left( -frac<1><3>right)right)(x-2)=3cdotleft(x+frac<1><3>right)(x-2)=left(3cdot x+3cdotfrac<1><3>right)(x-2) =(3x+1)(x-2). $$
Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся формулой №1, подставив в неё $a=x$, $b=2$:
Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:
Сокращая на скобку $x-2$ получим:
Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:
В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.
Так как $lim_
Раскрывая скобки с помощью формулы №1, получим:
Возвращаясь к рассматриваемому пределу, имеем:
Осталось разложить на множители выражения $-x^2+x+20$ и $x^2-8x+15$. Начнем с выражения $-x^2+x+20$. Чтобы разложить его на множители требуется решить уравнение $-x^2+x+20=0$, а затем воспользоваться формулой №5:
Для выражения $x^2-8x+15$ получим:
Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:
В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.
Виды и правила раскрытия неопределенностей (Таблица)
1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида ,
заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.
1.2. Для раскрытия неопределенности вида ,
заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней.
2.1. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при x → a числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на x — a и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при x → a , то надо произвести повторное деление на x — a .
2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида ,
в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.
В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула
В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула
a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ± ab + b 2 ) .
3.1. Неопределенность вида ,
получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.
В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) .
В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ± ab + b 2 ) .
3.2. Неопределенность вида ,
получающаяся в результате алгебраической суммы двух дробей, устраняется или сводится к типу 2 путем приведения дробей к общему знаменателю.
Основные неопределенности и способы их раскрытия
При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.
Основные виды неопределенностей: $leftlceilfrac<0><0>rightrceil$ , $left[fracright]$ , $[0 cdot infty]$ , $[infty-infty]$ , $left[1^right]$ , $left[0^<0>right]$ , $left[infty^<0>right]$
Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.
Раскрытие неопределенностей
Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
- упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
- замечательные пределы — первый замечательный предел и второй замечательный предел;
- правило Лопиталя;
- эквивалентные бесконечно малые функции.
Основные пределы
1. Первый замечательный предел: $lim _
Задание. Вычислить предел $lim _
Решение. Получим неопределенность, сделаем замену. При $x rightarrow 0$: $sin x sim x$, $arcsin x sim x$
2. Второй замечательный предел: $lim _
Задание. Вычислить предел $lim _
Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.
3. Предел частного многочленов на бесконечности:
Решение.
4. Предел целой рациональной функции: если $P(x)=a_
Задание. Найти предел функции $f(x)=x^<2>+1$ в точке $x=1$
5. Пределы иррациональных выражений:
а) чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональное выражение в случае, когда предел и числителя, и знаменателя равен нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель и после этого сделать необходимые упрощения. Иррациональность переносится с помощью домножения и числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное к иррациональности.
Задание. Вычислить предел $lim _
Решение. Получим неопределенность и домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к иррациональности.
б) Вычисление пределов, содержащих разность корней:
Задание. Вычислить предел $lim _
Решение. Получим неопределенность и домножим и поделим выражение на сопряженное.
6. Раскрытие неопределенности $left[frac<0><0>right]$ в частном двух многочленов с помощью разложения на множители:
Задание. Вычислить предел $lim _
Решение. Получим неопределенность, разложим на множители числитель и знаменатель, сократим одинаковые элементы.
Неопределенность вида бесконечность на бесконечность
Пусть заданы две функции (fleft( x right)) и (gleft( x right)), такие, что [limlimits_
Примечание : В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя .
Пусть две функции (fleft( x right)) и (gleft( x right)) обладают свойством [limlimits_
Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа (largefrac<0><0>normalsize) и (largefrac
0>
Функция имеет неопределенность типа (largefrac
Статья написана по материалам сайтов: infotables.ru, www.webmath.ru, www.math24.ru.
»