Неопределенность вида бесконечность на бесконечность

Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:

В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $frac<0><0>$.

Раскрытие неопределенности $frac<0><0>$.

Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

• Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое сопряжённое» выражение;
• При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
• Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.

Термин «сопряжённое выражение», использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).

Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:

Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:

begin ax^2+bx+c=acdot(x-x_1)cdot(x-x_2) end

Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.

Так как $lim_(sqrt<7-x>-2)=sqrt<7-3>-2=sqrt<4>-2=0$ и $lim_ (x-3)=3-3=0$, то в заданном пределе мы имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $sqrt<7-x>-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое «сопряжённое выражение». Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $sqrt<7-x>-2$ на $sqrt<7-x>+2$:

Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt<7-x>$, $b=2$:

Как видите, если умножить числитель на $sqrt<7-x>+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $sqrt<7-x>+2$ и будет сопряжённым к выражению $sqrt<7-x>-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $sqrt<7-x>+2$, ибо это изменит дробь $frac-2>$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:

Теперь вспомним, что $(sqrt<7-x>-2)(sqrt<7-x>+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:

Неопределенность $frac<0><0>$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:

Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру – в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.

Так как $lim_(sqrt-sqrt<7x^2-19>)=sqrt<2^2+5>-sqrt<7cdot 2^2-19>=3-3=0$ и $lim_(3x^2-5x-2)=3cdot2^2-5cdot 2-2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого доможим и числитель и знаменатель дроби $frac<3x^2-5x-2>-sqrt<7x^2-19>>$ на выражение $sqrt+sqrt<7x^2-19>$, сопряжённое к знаменателю:

Вновь, как и в примере №1, нужно использовать формулу №1 для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt$, $b=sqrt<7x^2-19>$, получим такое выражение для знаменателя:

Вернёмся к нашему пределу:

В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать формулу №5. Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:

Подставляя $x_1=-frac<1><3>$, $x_2=2$ в формулу №5, будем иметь:

$$ 3x^2-5x-2=3cdotleft(x-left( -frac<1><3>right)right)(x-2)=3cdotleft(x+frac<1><3>right)(x-2)=left(3cdot x+3cdotfrac<1><3>right)(x-2) =(3x+1)(x-2). $$

Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся формулой №1, подставив в неё $a=x$, $b=2$:

Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:

Сокращая на скобку $x-2$ получим:

Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:

В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.

Так как $lim_(sqrt-sqrt)=sqrt<9>-sqrt<9>=0$ и $lim_(sqrt-sqrt<5x-9>)=sqrt<16>-sqrt<16>=0$, то мы имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придется домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение $sqrt+sqrt$, сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение $sqrt-sqrt<5x-9>$, сопряжённое знаменателю.

Раскрывая скобки с помощью формулы №1, получим:

Возвращаясь к рассматриваемому пределу, имеем:

Осталось разложить на множители выражения $-x^2+x+20$ и $x^2-8x+15$. Начнем с выражения $-x^2+x+20$. Чтобы разложить его на множители требуется решить уравнение $-x^2+x+20=0$, а затем воспользоваться формулой №5:

Для выражения $x^2-8x+15$ получим:

Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:

В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.

Виды и правила раскрытия неопределенностей (Таблица)

1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида ,

заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.

1.2. Для раскрытия неопределенности вида ,

заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней.

2.1. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при x → a числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на x — a и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при x → a , то надо произвести повторное деление на x — a .

2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида ,

в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.

В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула

В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула

a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ± ab + b 2 ) .

3.1. Неопределенность вида ,

получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) .

В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ± ab + b 2 ) .

3.2. Неопределенность вида ,

получающаяся в результате алгебраической суммы двух дробей, устраняется или сводится к типу 2 путем приведения дробей к общему знаменателю.

Основные неопределенности и способы их раскрытия

При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Основные виды неопределенностей: $leftlceilfrac<0><0>rightrceil$ , $left[fracright]$ , $[0 cdot infty]$ , $[infty-infty]$ , $left[1^right]$ , $left[0^<0>right]$ , $left[infty^<0>right]$

Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.

Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

1. упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
2. замечательные пределы — первый замечательный предел и второй замечательный предел;
3. правило Лопиталя;
4. эквивалентные бесконечно малые функции.

Основные пределы

1. Первый замечательный предел: $lim _ frac=1$

Задание. Вычислить предел $lim _ frac$

Решение. Получим неопределенность, сделаем замену. При $x rightarrow 0$: $sin x sim x$, $arcsin x sim x$

2. Второй замечательный предел: $lim _left(1+frac<1>right)^=e$

Задание. Вычислить предел $lim _left(fracright)^$

Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

3. Предел частного многочленов на бесконечности:

Решение.

4. Предел целой рациональной функции: если $P(x)=a_ x^+a_ x^+ldots+a_ <1>x+a_<0>$ , то $lim _ P(x)=P(a)$

Задание. Найти предел функции $f(x)=x^<2>+1$ в точке $x=1$

5. Пределы иррациональных выражений:

а) чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональное выражение в случае, когда предел и числителя, и знаменателя равен нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель и после этого сделать необходимые упрощения. Иррациональность переносится с помощью домножения и числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное к иррациональности.

Задание. Вычислить предел $lim _ frac+5>-3>$

Решение. Получим неопределенность и домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к иррациональности.

б) Вычисление пределов, содержащих разность корней:

Задание. Вычислить предел $lim _left(sqrt-7>-sqrt+5>right)$

Решение. Получим неопределенность и домножим и поделим выражение на сопряженное.

6. Раскрытие неопределенности $left[frac<0><0>right]$ в частном двух многочленов с помощью разложения на множители:

Задание. Вычислить предел $lim _ frac-4>-5 x+6>$

Решение. Получим неопределенность, разложим на множители числитель и знаменатель, сократим одинаковые элементы.

Неопределенность вида бесконечность на бесконечность

Пусть заданы две функции (fleft( x right)) и (gleft( x right)), такие, что [limlimits_ fleft( x right) = 0;; ;;limlimits_ gleft( x right) = 0.> ] В этом случае говорят, что функция (largefrac<><>normalsize) имеет неопределенность типа (largefrac<0><0>normalsize) в точке (x = a). Чтобы найти предел при (x = a), когда функция (largefrac<><>normalsize) содержит неопределенность (largefrac<0><0>normalsize), нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.

Примечание : В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя .

Пусть две функции (fleft( x right)) и (gleft( x right)) обладают свойством [limlimits_ fleft( x right) = pm infty;; ;;limlimits_ gleft( x right) = pm infty.> ] где (a) является действительным числом, либо стремится к (+infty) или (-infty). Говорят, что в этом случае функция (largefrac<><>normalsize) имеет в точке (a) неопределенность типа (largefracnormalsize). Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на (x) в наивысшей степени.

Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа (largefrac<0><0>normalsize) и (largefracnormalsize).

Функция имеет неопределенность типа (largefracnormalsize) в точке (y = -2). Разложим числитель и знаменатель на множители. [ + 3 + 2y = + 3y + 2> right) > = right)left( right).> ] (Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители (a + bx + c = aleft( > right)left( > right)), где (), () — корни квадратного уравнения.)

Статья написана по материалам сайтов: infotables.ru, www.webmath.ru, www.math24.ru.

»